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10.关于函数f(x)=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$(x≠0),给出下列命题:
①其图象关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数;
③f(x)在区间(-1,0),(2,+∞)上是增函数;
④f(x)的最小值是lg2;
⑤f(x)既无最大值,也无最小值.
其中正确的序号是①③④.

分析 根据已知中函数的解析式,求出函数的奇偶性,单调性及最值,进而可得答案.

解答 解:∵函数f(x)=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$(x≠0),
f(-x)=lg$\frac{(-{x)}^{2}+1}{|-x|}$=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$=f(x),
故函数为偶函数,其图象关于y轴对称;故①正确;
当x>0时,f(x)=lg$\frac{{x}^{2}+1}{x}$,在(0,1]上为减函数,在[1,+∞)上是增函数;
当x<0时,f(x)=lg$\frac{{x}^{2}+1}{-x}$,在(-∞,-1]上为减函数,在[-1,0)上是增函数;
故②错误,③正确;
当x=±1时,函数取最小值lg2,无最大值,故④正确,⑤错误;
故答案为:①③④

点评 本题是函数图象和性质的综合应用,分析出函数的奇偶性,单调性及最值,是解答的关键.

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