Question

20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示
（1）求f（x）的解析式；
（2）求满足条件f（x）≥0时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图象可得：$\left\{\begin{array}{l}{A=2}\\{\frac{T}{4}=\frac{π}{12}-（-\frac{π}{6}）}\end{array}\right.$，解得A，T，利用周期公式可得ω，由2sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可解得φ的值，即可得解f（x）的解析式．
（2）由题意可得：2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥0，利用正弦函数的图象和性质可得2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π（k∈Z），即可解得x的取值集合．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）设f（x）的最小正周期为T，依题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{A=2}\\{\frac{T}{4}=\frac{π}{12}-（-\frac{π}{6}）}\end{array}\right.$，
解得：A=2，T=π，于是得$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
2sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0即sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{3}$，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．…（6分）
（2）由f（x）≥0，
⇒2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥0，
⇒2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π（k∈Z），
⇒kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，（k∈Z）．
故x的取值集合是：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合能力，属于基础题．