Question

已知a，b为正实数，函数f（x）=ax³+bx+2^x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[-1，0]上的最小值为（　　）

• A、-

  3

  2

• B、

  3

  2

• C、-2
• D、2

Answer 1

分析：先求导函数f'（x），再分别判断函数f（x）在区间[0，1]和[-1，0]上的单调性，从而求出最大值（含a，b的式子），求出最小值（含a，b的式子），最后将a+b整体代入即得结果．

解答：解：因为a，b为正实数，函数f（x）=ax³+bx+2^x，
所以导函数f'（x）=3ax²+b+2^xln2，
因为a，b为正实数，
所以当0≤x≤1时，3ax²≥0，2^xln2＞0，
所以f'（x）＞0，即f（x）在[0，1]上是增函数，
所以f（1）最大且为a+b+2=4⇒a+b=2①；
又当-1≤x≤0时，3ax²≥0，2^xln2＞0，
所以f'（x）＞0，
即f（x）在[-1，0]上是增函数，
所以f（-1）最小且为-（a+b）+

1

2

②，
将①代入②得f（-1）=-2+

1

2

=-

3

2

．
故选A

点评：本题运用导数证明了函数的单调性，求出了最大值和最小值，这是求函数最值的一个重要方法--导数法，有时也可根据同一区间上增函数加增函数还是增函数，减函数加减函数还是减函数这一性质．本题属于基础题．