Question

(本小题满分14分)
如图，在中，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线与圆     相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.

Answer 1

解：（1）∵∴
………2分
∴∴……4分
依椭圆的定义有：
∴，…………………………………………………………………………6分
又，∴………………………………………………………7分
∴椭圆的标准方程为……………………………………………8分
（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，
也可以给满分。）
(2)椭圆的右顶点，圆圆心为，半径。
假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，
则，圆心到直线的距离………………10分
当直线斜率不存在时，的方程为，
此时圆心到直线的距离（符合）……………………………11分
当直线斜率存在时，设的方程为，即，
∴圆心到直线的距离，无解……………………………13分
综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为…14分。

略