Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+cx+d（a，b，c，d∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1，x=2处取得极值，求b，c的值；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，x₁），（x₂，+∞）上为增函数，在（x₁，x₂）上为减函数，且x₂-x₁＞1，求证：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的条件下，当t＜x₁时，试比较t²+bt+c与x₁的大小．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导函数，故x=1和x=2是导函数的零点从而得到答案．
（2）根据导函数大于0时原函数单调增，导函数小于0时原函数单调递减代入可得答案．
（3）根据x₁，x₂是x²+（b-1）x+c=0两根，所以可得x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），然后整理放缩可得答案．

解答：解：（1）f'（x）=x²+（b-1）x+c，由题意知1、2是方程x²+（b-1）x+c=0两根，
∴

-(b-1)=1+2 c=1×2

，
∴b=-2，c=2；
（2）由题意知，当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，
∴x₁，x₂是x²+（b-1）x+c=0两根，x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c，
∴b²-2（b+2c）=b²-2b-4c=[1-（x+x）²]-2[1-（x₁+x₂）]-4x₁x₂=（x+x）²-1，
∵x₁-x₂＞1，∴（x+x）²-1＞0，
∴b²＞2（b+2c）．
（3）在（2）下，由上题知x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），即x²+bx+c=（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t+1-x₂）．
∵x₂＞1+x₁＞1+t，
∴1+t-x₂＜0．
∵0＜t＜x₁，∴t-x₁＜0，
∴（t-x₁）（t+1-x₂）＜0，
∴t²+bt+c＞x₁．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数在某点取得极值的条件、函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．