Question

已知数列{a_n}满足：a1=1 ，   a2=

1

2

，且a_n+2=

an+12

an+an+1

（n∈N^*），则如图中前n行所有数的和S_n=

 

．

Answer 1

分析：根据a₁=1，a₂=

1

2

且a_n+2=

an+12

an+an+1

（n∈N^*），得到a₃=

1

2

× 

1

3

=

1

6

，a₄=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

，…，a_n=

1

2

×

1

3

×…×

1

n

，根据图表可知S_n的通项，利用求和公式求出即可．

解答：解：根据a₁=1，a₂=

1

2

且a_n+2=

an+12

an+an+1

（n∈N^*），
得到a₃=

1

2

× 

1

3

=

1

6

，
a₄=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

，
…，
a_n=

1

2

×

1

3

×…×

1

n

，
根据图表可知S_n=

a1a1

a2

+

a1a2+a2a1

a3

+…+

a1an+a2an-1+…+ana1

an+1

=2+6+14+..+2ⁿ⁺¹-2
=2•2ⁿ⁺¹-2（n-2）
=2ⁿ⁺²-2n-4
故答案为2ⁿ⁺²-2n-4

点评：考查学生利用图表找规律的思维方法，以及利用等比数列的求和公式解决数学问题的能力．