Question

设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n为前n项和，满足a₃，2a₅，a₁₂成等差数列，S₁₀=60．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）试求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的定义、通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用通项公式a_n≥0，即可得出此数列从哪一项开始大于0，进而即可去掉绝对值符号，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵满足a₃，2a₅，a₁₂成等差数列，
∴4a₅=a₃+a₁₂，
又S₁₀=60．
∴

4(a1+4d)=2a1+13d 10a1+ 10×9 2 d=60

，解得

a1=-3 d=2

．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-3+（n-1）×2=2n-5．
前n项和Sn=-3n+

n(n-1)

2

×2=n²-4n．
（2）由a_n=2n-5≥0，解得n≥

5

2

．
∴当n=1，2时，a_n＜0；
当n≥3时，a₃＞0．
∴当n=1时，|a₁|=5-2×1=3；
当n=2时，|a₁|+|a₂|=5-2+5-2×2=4；
当n≥3时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-a₁-a₂+a₃+a₄+…+a_n=S_n-2（a₁+a₂）=n²-4n-2（-3-1）=n²-4n+8．
综上：当n=1时，|a₁|=3；
当n=2时，|a₁|+|a₂|=4；
当n≥3时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=n²-4n+8．

点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式及其前n项和公式及含绝对值符号的数列求和问题等基础知识与基本技能，分类讨论是解决含绝对值符号问题的关键，属于中档题．