Question

一块边长为10cm的正方形铁片按图（1）中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个如图（2）所示的正四棱锥形容器．在图（1）中，x表示等腰三角形的底边长；在图（2）中，点E、F分别是四棱锥P-ABCD的棱BC，PA的中点，
（1）证明：EF∥平面PDC；
（2）把该容器的体积V表示为x的函数，并求x=8cm时，三棱锥A一BEF的体积．

Answer 1

分析：（1）取PD的中点M，利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质及线面平行的判定定理即可证明．
（2）先找出此正四棱锥的高，进而即可求出其体积；再利用等积变形求三棱锥F-ABE即可．

解答：解：（1）证明：取PD的中点M，连接FM、CM，
∵F为PA的中点，∴FM∥=12AD，
∵E为BC的中点，∴EC∥=12AD．
∴FM∥=EC，
∴四边形FMCE是平行四边形，∴EF∥CM．
∵EF?平面PDC，CM?平面PDC，
∴EF∥平面PDC．
（2）连接对角线AC、BD交于点O，连接OE、PO、PE．
则PO⊥底面ABCD，OE=

1

2

x，PE=5．
∴PO=

52-( 1 2 x)2

=

100-x2

2

，
∴V_{四棱锥P-ABCD}=

1

3

x2×

100-x2

2

=

x2 100-x2

6

（0＜x＜10）．
取AO的中点H，连接FH，则FH∥PO，FH=

1

2

PO=

100-x2

4

．
∵PO⊥底面ABCD，∴FH⊥底面ABCD．
∴V_{三棱锥A-BEF}=V_{三棱锥F-ABE}=

1

3

×

100-x2

4

×

1

2

×

1

2

x×x=

100-x2

48

×x2，
当x=8时，V_{三棱锥A-BEF}=

100-82 ×82

48

=8．

点评：熟练掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及三角形的中位线定理、平行四边形的判定及性质、锥体的体积计算公式是解题的关键．