Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，如图，设动点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求证：y₁y₂为定值；
（Ⅱ）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值；
（Ⅲ）是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分情况讨论：当直线AB垂直于x轴时，计算得y₁y₂=-2p²；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得ky²-2py-2p²k=0，因此有y₁y₂=-2p²为定值．

（II）D（-p，0），DC=2p，S△ADB=

1

2

DC|y1-y2|，当AB⊥x轴时，S△ADB=

1

2

×2p×2

2

p=2

2

p2．当直线AB不垂直x轴时，y1+y2=

2p

k

，|y1-y2|=

(y1-y2)2-4y1y2

，由此能求出△ADB面积的最小值．
（III）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀），l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得 q=2

( |MA| 2 )2-(x0-t)2

=2

(x1-p)2+ y 2 1 4 -( x1+p 2 -t)2

=2

(t- p 2 )x1+pt-t2

．由此能求出存在直线l，其方程为 x=

p

2

．

解答：解：（Ⅰ）当直线AB垂直于x轴时，y₁=

2

p，y₂=-

2

p，因此y₁y₂=-2p²
（定值）；…．（1分）
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得；
ky²-2py-2p²k=0
因此有y₁y₂=-2p²为定值．…（4分）
（Ⅱ）D（-p，0），∴DC=2p，
S△ADB=

1

2

DC|y1-y2|，
当AB⊥x轴时，S△ADB=

1

2

×2p×2

2

p=2

2

p2．
当直线AB不垂直x轴时，
y1+y2=

2p

k

，
∴|y1-y2|=

(y1-y2)2-4y1y2

=

4p2 k2 +8p2

＞2

2

p，
∴S△AD＞2

2

p，
综上所述，△ADB面积的最小值是2

2

p．
（III）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀）
l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得：
q=2

( |MA| 2 )2-(x0-t)2

=2

(x1-p)2+ y 2 1 4 -( x1+p 2 -t)2

=2

(t- p 2 )x1+pt-t2

当 t=

p

2

时，q=p为定值
故存在这样的直线l，其方程为 x=

p

2

（12分）

点评：本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化．