【题目】设等差数列的前项和为,且(是常数,),.
(1)求的值及数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明:.
【答案】(1)(2)详见解析
【解析】
(1)由Sn=nan+an﹣c,得a1=2c,a2=3c,从而得到c=2,由此能求出c的值及数列{an}的通项公式;(2)根据第一问得到数列的通项,裂项求和即可得到数列之和,之后得到Tn+1Tn>0,故可得到数列之和的最小值,可得证.
(1)因为Sn=nan+an﹣c,
所以当n=1时,,解得a1=2c,
当n=2时,S2=a2+a2﹣c,即a1+a2=a2+a2﹣c,
解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2,
则a1=4,数列{an}的公差d=a2﹣a1=2,
所以an=a1+(n﹣1)d=2n+2.
(2)由已知得:bn== ()
Tn= ()+ ()+……+ ()= ()<
因为nN*,所以Tn+1 Tn=>0
因此数列{Tn}在nN*上是增数列.
所以Tn≥T1=,综上所述,原不等式成立。
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【题目】如图在直角坐标系中,的圆心角为,所在圆的半径为1,角θ的终边与交于点C.
(1)当C为的中点时,D为线段OA上任一点,求的最小值;
(2)当C在上运动时,D,E分别为线段OA,OB的中点,求的取值范围.
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【题目】对于定义在区间上的两个函数和,如果对任意的,均有不等式成立,则称函数与在上是“友好”的,否则称为“不友好”的.
(1)若,,则与在区间上是否“友好”;
(2)现在有两个函数与,给定区间.
①若与在区间上都有意义,求的取值范围;
②讨论函数与与在区间上是否“友好”.
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【题目】已知直线的方程为,抛物线:的焦点为,点是抛物线上到直线距离最小的点.
(1)求点的坐标;
(2)若直线与抛物线交于两点,为中点,且,求直线的方程.
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【题目】已知圆C:,直线过定点.
(1)若与圆相切,求的方程;
(2)若与圆相交于两点,线段的中点为,又与的交点为,判断是否为定值.若是,求出定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为,上顶点为,若直线的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为, 的周长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于两点,点在点的上方,若,求直线的斜率.
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【题目】已知双曲线 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于,两点.若双曲线的离心率为,的面积为,为坐标原点,则抛物线的焦点坐标为 ( )
A. B. C. D.
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