Question

11．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sinxcosx-2sinx，x∈[$\frac{π}{6}$，π]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用两角差的余弦公式，二倍角公式，可将函数的解析式化为f（x）=$\frac{1}{2}$-sin²x-2sinx，令t=sinx，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sinxcosx-2sinx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-2sinx=$\frac{1}{2}$-sin²x-2sinx，
令t=sinx，x∈[$\frac{π}{6}$，π]，则t∈[0，1]，y=f（x）=$-{t}^{2}-2t+\frac{1}{2}$，
故当t=0时，函数有最大值$\frac{1}{2}$，t=1时，函数取小时值-$\frac{5}{2}$，
故函数f（x）的值域为[$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$]

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值，难度中档．