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如图①边长为1的正方形ABCD中,点E、F分别为AB、BC的中点,将△BEF剪去,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.
(1)求证:PD⊥EF;
(2)求三棱锥P-DEF的体积;
(3)求点E到平面PDF的距离.

(1)证明:依题意知图1折前AD⊥AE,CD⊥CF,-------------------------------(1分)
∴PD⊥PE,PF⊥PD,-------------------------------------------------------(2分)
∵PE∩PF=P,∴PD⊥平面PEF-----------------------------------(4分)
又∵EF?平面PEF,∴PD⊥EF----------------------------------------(5分)
(2)解法1:依题意知图1中AE=CF=,∴PE=PF=
在△BEF中,,-----(6分)
在△PEF中,PE2+PF2=EF2
------(8分)
=.-----(10分)
解法2:依题意知图2中AE=CF=,∴PE=PF=
在△BEF中,------------------(6分)
取EF的中点M,连接PM
则PM⊥EF,∴---------(7分)
---------------(8分)
=.------------------------------(10分)
(3)由(2)知PE⊥PF,又PE⊥PD,∴PE⊥平面PDF---------------------(12分)
∴线段PE的长就是点E到平面PDF的距离--------------------------------------(13分)
,∴点E到平面PDF的距离为.-------------------------------------(14分)
分析:(1)证明PD⊥EF,只需证明PD⊥平面PEF即可;
(2)解法1:依题意知图1中AE=CF=,从而PE=PF=,证明PE⊥PF,利用可求;
解法2:依题意知图2中AE=CF=,从而PE=PF=,取EF的中点M,连接PM,则PM⊥EF,利用可求;
(3)由(2)知PE⊥平面PDF,从而线段PE的长就是点E到平面PDF的距离.
点评:本题考查线线垂直,考查三棱锥的体积,考查点面距离的计算,解题的关键是利用线面垂直证明线线垂直,掌握转换底面求体积.
练习册系列答案
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精英家教网(北京卷理14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点p(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(x)的最小正周期为
 
;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为
 

说明:“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.

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;(说明:“正三角形PAB沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续;类似地,正三角形PAB也可以沿x轴负方向逆时针滚动)

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4(π+1)
4(π+1)
.(说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.)

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3
+
3
4
3
+
3
4

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如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方 形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为(  )

A.         B.            C.      D.

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