Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{b}$|=1．
（1）若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦；
（2）对任意实数t，恒有|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，求证：（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 （1）只要将等式平方，展开整理得到数量积，利用数量积公式可求夹角的余弦值；
（2）对已知不等式平方化简得到关于t的二次不等式恒成立，借助于判别式得到证明．

解答 解：（1）将|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|两边平方，得，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=4|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，展开得${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$，
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦为：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{3}{2}}{2×1}=\frac{3}{4}$…．（6分）
（2）将|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|平方展开得${\overrightarrow b^2}{t^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow bt+2\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}≥0$恒成立，
所以$△=4{（\overrightarrow a•\overrightarrow b）^2}-8（\overrightarrow a•\overrightarrow b）{\overrightarrow b^2}+4{（{\overrightarrow b^2}）^2}=4{（\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}）^2}≤0$
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}=0$，
∴$\overrightarrow b•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）=0∴\overrightarrow b⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$…（12分）

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用、由模的关系判断向量的关系；关键是明确向量的平方与模的平方相等的运用．