分析 (1)只要将等式平方,展开整理得到数量积,利用数量积公式可求夹角的余弦值;
(2)对已知不等式平方化简得到关于t的二次不等式恒成立,借助于判别式得到证明.
解答 解:(1)将|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|两边平方,得,|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|2=4|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|2,展开得${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$,
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$,
所以向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦为:$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{3}{2}}{2×1}=\frac{3}{4}$….(6分)
(2)将|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|平方展开得${\overrightarrow b^2}{t^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow bt+2\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}≥0$恒成立,
所以$△=4{(\overrightarrow a•\overrightarrow b)^2}-8(\overrightarrow a•\overrightarrow b){\overrightarrow b^2}+4{({\overrightarrow b^2})^2}=4{(\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2})^2}≤0$
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}=0$,
∴$\overrightarrow b•(\overrightarrow a-\overrightarrow b)=0∴\overrightarrow b⊥(\overrightarrow a-\overrightarrow b)$…(12分)
点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用、由模的关系判断向量的关系;关键是明确向量的平方与模的平方相等的运用.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4x-3y+10=0 | B. | 4x-3y-11=0 | C. | 3x-4y-11=0 | D. | 3x-4y+11=0 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
分组 | 频数 | 频率 |
[5,15] | 6 | 0.2 |
(15,25] | 9 | 0.3 |
(25,35] | n1 | f1 |
(35,45] | n2 | f2 |
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