Question

如图，已知等腰△ABC的底边BC=3，顶角A为120°，D是BC边上一点，且BD=1，把△ADC沿AD折起，使得平面CAD⊥平面ABD，连接BC形成三棱锥C-ABD。

（1）①求证：AC⊥平面ABD；
②求三棱锥C-ABD的体积；
（2）求AC与平面BCD所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）①由已知得，∠B=∠C=30°，AB=AC 在△ABD中，由BD=1，得 在△ACD中，∵AC2+AD2=4=CD2， ∴AC⊥AD 平面ADC⊥平面ABD， ∴AC⊥平面ABD。 ②∵AC⊥平面ABD ∴ 。
（2）由BD=1，得CD=2 在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足， 则 在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H， ∵BD⊥AC，BD⊥AE， ∴BD⊥平面ACE ∵AH平面ACE， ∴BD⊥AH， ∴AH⊥平面BCD， ∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角 在Rt△ACE中，得  ∴ 即直线AC与平面BCE所成的角的正弦值为。