Question

设函数f(x)=x³+ax²-9x-1(a＜0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求:

(1)a的值;

(2)函数f(x)的单调区间.

Answer 1

解:(1)因f(x)=x³+ax²-9x-1,所以f′(x)=3x²+2ax-9=3(x+)²-9-,即当x=-时,f′(x)取得最小值-9-.

因斜率最小的切线与12x+y=6平行,即该切线的斜率为-12,

所以-9-=-12,即a²=9.

解得a=±3,由题设a＜0,所以a=-3.

(2)由(1)知a=-3,因此f(x)=x³-3x²-9x-1,

f′(x)=3x²-6x-9=3(x-3)(x+1),

令f′(x)=0,解得x₁=-1,x₂=3.

当x∈(-∞,-1)时,f′(x)＞0,故f(x)在(-∞,-1)上为增函数;

当x∈(-1,3)时,f′(x)＜0,故f(x)在(-1,3)上为减函数;

当x∈(3,+∞)时,f′(x)＞0,故f(x)在(3,+∞)上为增函数.

由此可见,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞);单调递减区间为(-1,3).