Question

已知如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=2AD=2，E、F分别为线段AB、CD的动点，且EF∥BC，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）．
（1）当AE为何值时，BD⊥EG；
（2）在（1）的条件下，求BD与平面ABF所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）沿EF将梯形ABCD翻折后，建立空间坐标系，设EA=t，t∈（0，2），求出

BD

和

EG

的坐标，由BD⊥EG，得

BD

•

EG

=0，解方程求得t的值．
（2）在（1）的条件下，求出

BA

、

BF

的坐标，设出平面ABF的法向量为

n

的坐标，由

n

•

BA

=0，

n

•

BF

=0，解得

n

的坐标，设BD与平面ABF所成角为θ，则由sinθ=cos＜

BD

，

n

＞
=

BD • n

| BD | • | n |

，运算求得结果，即可得到θ的值．

解答：解：（1）沿EF将梯形ABCD翻折后，以EF所在直线为x轴，以EB所在直线为y轴，以EA所在的直线为z轴，建立空间坐标系，设EA=t，t∈（0，2）．
则A（0，0，t ），B（2-t，0，0 ），D（0，1，t），G（2-t，1，0）．
∴

BD

=（t-2，1，t），

EG

=（2-t，1，0）．
∵BD⊥EG，
∴

BD

•

EG

=0，即-（t-2）²+1=0，解得 t=1 或t=3（舍去）．
故EA=1．
（2）在（1）的条件下，A（0，0，1 ），B（ 1，0，0 ），F（0，

3

2

，0 ），D（0，1，1 ），

BD

=（-1，1，1），

BA

=（-1，0 1），

BF

=（-1，

3

2

，0 ）．
设平面ABF的法向量为

n

=（a，b，1），由

n

•

BA

=0，

n

•

BF

=0，解得 a=-1，b=1，故

n

=（-1，1，1）．
设BD与平面ABF所成角为θ，则 sinθ=cos＜

BD

，

n

＞=

BD • n

| BD | • | n |

=

|-1+ 2 3 +1|

3 • 2+ 4 9

=

66

33

，
∴θ=arcsin

66

33

．   

点评：本题主要考查直线和平面所成的角的定义和求法，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题．