Question

18．设a＞0，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$是定义在R上的偶函数．
（1）求实数a；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意知f（-x）=f（x）恒成立，化简可得（$\frac{1}{a}$-a）（2^-x-2^x）=0恒成立，从而解得．
（2）由（1）知，f（x）=2^x+2^-x，从而由x∈[-1，2]可得2^x+2^-x∈[2，$\frac{17}{4}$]．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即$\frac{{2}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$，
化简可得，（$\frac{1}{a}$-a）（2^-x-2^x）=0，
故$\frac{1}{a}$-a=0，又∵a＞0；
故a=1；
（2）由（1）知，f（x）=2^x+2^-x，
∵x∈[-1，2]，∴2^x+2^-x∈[2，$\frac{17}{4}$]；
即f（x）在x∈[-1，2]上的值域为[2，$\frac{17}{4}$]．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用及恒成立问题的应用．