Question

已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．

Answer 1

（1）＝1（2）

(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，
∴c²＝a²＋b²＝2a²＝4，∴a²＝b²＝2，∴双曲线方程为＝1.
(2)设点A的坐标为(x₀，y₀)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x₀＝y₀.①
依题意，圆的方程为x²＋y²＝c²，
将①代入圆的方程得3 ＋＝c²，即y₀＝c，∴x₀＝c，
∴点A的坐标为，代入双曲线方程得
＝1，即b²c²－a²c²＝a²b²，②
又∵a²＋b²＝c²，∴将b²＝c²－a²代入②式，整理得c⁴－2a²c²＋a⁴＝0，
∴3 ⁴－8 ²＋4＝0，
∴(3e²－2)(e²－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，
∴双曲线的离心率为.