Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（I）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（II）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）欲证平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB₁A₁，又AC?平面B₁AC，满足面面垂直的判定定理；
（II）过A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足为M，连接CM，∠A₁CM为直线A₁C与平面B₁AC所成的角，然后在三角形A₁CM中求出此角的正弦值即可．

解答：解：

（I）证明：由直三棱柱性质，B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B⊥AC，又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，又AC?平面B₁AC，
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁．
（II）解：过A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足为M，连接CM，
∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A，
∴A₁M⊥平面B₁AC．
∴∠A₁CM为直线A₁C与平面B₁AC所成的角，
∵直线B₁C与平面ABC成30°角，∴∠B₁CB=30°．
设AB=BB₁=a，可得B₁C=2a，BC=

3

a，AC=

2

a，
从而A1C=

3

a，又A1M=

2

2

a，sinA1CM=

A1M

A1C

=

6

6

.
∴直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值为

6

6

.

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．