Question

11．△ABC中，$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$O为△ABC内切圆的圆心，且AB=2，AC=3，BC=4．
（1）求证：$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$的值．

Answer 1

分析 （1）由△ABC中，$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，G为重心，D为中点，有$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，运用中点的向量表示即可得证；
（2）利用三角形的内切圆的切线长定理、向量的运算和数量积定义即可得出．

解答 解：（1）证明：△ABC中，$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
可得G为△ABC的重心，D为BC的中点，
即有$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）设点M，E，F分别是内切圆与三边相切的切点．
设AE=AF=x，CM=CF=y，BM=BE=z．
则 $\left\{\begin{array}{l}{x+z=2}\\{x+y=3}\\{y+z=4}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{2}$．
设∠OAC=θ．在Rt△OAF中，AO•cosθ=AF=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AO}$|cosθ=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AF}$|=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了三角形重心的向量表示和性质，以及内切圆的性质、向量的运算和数量积运算，属于中档题．