Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

（a∈R）．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在区间[2，+∞]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，利用（1）（2）的结论，指出f（x）在区间（-∞，-3]上的单调性．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）通过f（x）解析式容易看出a=0时是偶函数，a≠0时是非奇非偶函数；
（2）求f′（x）=

2x3-a

x2

，所以便有2x³-a≥0在[2，+∞）上恒成立，所以a≤2x³在[2，+∞）上恒成立，2x³的最小值为16，所以便有a≤16；
（3）a=0时，f（x）=x²，根据二次函数的单调性即可判断该函数在（-∞，-3]上的单调性．

解答： 解：（1）若a=0，则f（x）=x²，该函数为偶函数；
若a≠0，f（1）=1+a，f（-1）=1-a，∴f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），∴此时f（x）为非奇非偶函数；
（2）f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3-a

x2

；
∵f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
∴f′（x）≥0，即2x³-a≥0在[2，+∞）上恒成立；
∴a≤2x³在[2，+∞）上恒成立；
2x³在[2，+∞）上是增函数；
∴2x³在[2，+∞）上的最小值为16；
∴a≤16；
∴实数a的取值范围为（-∞，16]；
（3）a=0时，f（x）=x²；
f（x）是二次函数，对称轴为x=0；
∴该函数在（-∞，-3]上单调递减．

点评：考查奇偶函数的定义以及判断方法，函数单调性和函数导数符号的关系，以及二次函数的单调性．