Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E，F，G，H分别为PC、PD、BC、PA的中点．
求证：（1）PA∥平面EFG；
（2）DH⊥平面EFG．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵E、G分别是PC、BC的中点，
∴EG是△PBC的中位线，
∴EG∥PB，
又∵PB平面PAB，EG平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E、F分别是PC、PD的中点，
∴EF∥CD，
又∵底面ABCD为正方形，
∴CD∥AB，
∴EF∥AB，
又∵AB平面PAB，EF平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAB，
∵PA平面PAB，
∴PA∥平面EFG．
（2）∵PD⊥AD，PD=AD，H为的中点，
∴DH⊥PA，
∵BA⊥平面PDA，DH平面PDA，
∴DH⊥AB，
∴DH⊥平面PAB，
∴DH⊥PB，
由（1）EF∥AB，EG∥PB，
∴DH⊥EG，DH⊥EF，
∴DH⊥平面EFG．

【解析】（1）根据面面平行的性质推出线面平行；
（2）由题意可证DH⊥PA，DH⊥AB，可证DH⊥平面PAB，从而证明DH⊥PB，由（1）EF∥AB，EG∥PB，从而证明DH⊥EG，DH⊥EF，即可证明DH⊥平面EFG．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的性质(垂直于同一个平面的两条直线平行)的相关知识才是答题的关键．