Question

3．函数y=cosx-x²在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{{π}^{2}}{16}$，1]．

Answer 1

分析 根据余弦函数y=cosx和二次函数y=-x²在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的单调性，从而可以得到原函数在$[-\frac{π}{4}，0）$上单调递增，在$[0，\frac{π}{4}]$上单调递减，从而得出x=0时原函数取最大值，x=$±\frac{π}{4}$时，原函数取最小值，这便可得出原函数的值域．

解答 解：y=cosx和y=-x²在[$-\frac{π}{4}$，0）上都单递增；
∴原函数在$[-\frac{π}{4}，0）$上单调递增；
y=cosx和y=-x²在$[0，\frac{π}{4}]$上都单调递减；
∴原函数在[0，$\frac{π}{4}$]上单调递减；
∴x=0时，原函数取最大值1，x=$-\frac{π}{4}$或$\frac{π}{4}$时，原函数取最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{{π}^{2}}{16}$；
∴原函数的值域为[$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{{π}^{2}}{16}$，1]．
故答案为：$[\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{{π}^{2}}{16}，1]$．

点评 考查函数值域的概念，余弦函数和二次函数的单调性，f（x）+g（x）的单调性和f（x），g（x）单调性的关系，根据函数的单调性求最值，从而得出函数在闭区间上值域的方法．