Question

17．设函数f（x）=xlnx，（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设F（x）=ax²+f'（x），（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导函数f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增区间，解不等式f′（x）＜0得出减区间；
（2）求F′（x），讨论F′（x）=0的解的情况及F（x）的单调性得出结论．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
∴0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0
∴函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）单调递增，
（2）∴F（x）=ax²+f′（x）（x＞0），
∴F′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$（x＞0）．
当a≥0时，F′（x）＞0恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴F（x）在（0，+∞）上无极值．
当a＜0时，令F′（x）=0得x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$或x=-$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$（舍）．
∴当0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$时，F′（x）＞0，当x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上单调递增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上单调递减，
∴当x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$时，F（x）取得极大值F（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）=$\frac{1}{2}$+ln $\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，无极小值，
综上：当a≥0时，F（x）无极值，
当a＜0时，F（x）有极大值$\frac{1}{2}$+ln $\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，无极小值．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的导数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力，分类讨论思想，属于中档题．