Question

有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q₁万元和Q₂万元，它们与投入的资金的关系是Q₁=

1

5

x，Q₂=

3

5

x

，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？

Answer 1

分析：设甲、乙两种商品的资金投入分别为x万元，（3-x）万元时，利润函数Q=Q₁+Q₂=

1

5

x+

3

5

3-x

，用换元法：令

3-x

=t，则Q可表示为t的二次函数，从而求得Q的最大值，即获最大利润，进而得出甲、乙两种商品的资金投入．

解答：解：设甲、乙两种商品的资金投入分别为x万元，（3-x）万元，
则利润为：Q=Q₁+Q₂=

1

5

x+

3

5

3-x

（0≤x≤3），
令

3-x

=t，则x=3-t²（t≥0），
∴Q=

1

5

（3-t²）+

3

5

t=-

1

5

（t-

3

2

）²+

21

20

；
∵t=

3

2

∈[0，+∞），
所以，当t=

3

2

时，即x=

3

4

时，Q有最大值

21

20

，此时3-x=

9

4

，此时获最大利润，
所以，甲、乙两种商品的资金投入应分别为

3

4

万元和

9

4

万元．

点评：本题考查了二次函数模型的应用，利用换元法把含有根号的函数转化为二次函数时，要注意自变量取值范围的变化．