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(本小题满分13分)
已知椭圆的两焦点在轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的动直线交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以AB为直径的圆恒过点Q ?若存在求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。

(Ⅰ).(Ⅱ)存在定点Q,则Q的坐标只可能为

解析试题分析:(Ⅰ)由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
又斜边长为2,即 故,
椭圆方程为.                    ……………(4分)
(Ⅱ)当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为;
与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为(6分)
下证明为所求:
若直线斜率不存在,上述已经证明.设直线,
,
,       ……………………(8分)

……(10分)
 
,即以AB为直径的圆恒过点.      ………(13分)
注: 此题直接设,得到关于的恒成立问题也可求解.
考点:本题主要考查椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系。
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质。(II)小题中,运用平面向量的数量积,“化证为算”,达到证明目的。

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(本小题满分13分)已知函数(其中为常数)的图像经过点A、B是函数图像上的点,正半轴上的点.
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(3) 在(2)的条件下,数列满足,记的前项和为,证明:

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(本小题满分12分)
已知椭圆C中心在原点,焦点在轴上,一条经过点且倾斜角余弦值为的直线交椭圆于A,B两点,交轴于M点,又.
(1)求直线的方程;
(2)求椭圆C长轴的取值范围。

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