Question

（2013•福建）椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，若直线y=

3

(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于

3

-1

．

Answer 1

分析：由直线y=

3

(x+c)可知斜率为

3

，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，可得∠MF2F1=30°，进而∠F1MF2=90°．
设|MF₂|=m，|MF₁|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得

m2+n2=(2c)2 m+n=2a m= 3 n

，解出a，c即可．

解答：解：如图所示，
由直线y=

3

(x+c)可知倾斜角α与斜率

3

有关系

3

=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．
设|MF₂|=m，|MF₁|=n，则

m2+n2=(2c)2 m+n=2a m= 3 n

，解得

c

a

=

3

-1．
∴该椭圆的离心率e=

3

-1．
故答案为

3

-1．

点评：本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．