Question

8．函数$y={log_2}（-{x^2}+4x+32）$的定义域为集合A，函数g（x）=2^x-a，x∈（-∞，2）的值域为集合B
（1）求集合A、B；
（2）若集合A、B满足A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对数函数真数必须为正列出不等式，由一元二次不等式的解法求出定义域A，根据指数函数的性质求出g（x）的值域B；
（2）由A∪B=A得B⊆A，根据子集的关系列出不等式组，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）要使函数$y=lo{g}_{2}（-{x}^{2}+4x+32）$有意义，
则-x²+4x+32＞0，解得-4＜x＜8，
所以定义域为集合A=（-4，8），
由x∈（-∞，2）得2^x∈（0，4），则2^x-a∈（-a，4-a），
所以g（x）的值域为集合B=（-a，4-a），
（2）由A∪B=A得B⊆A，即（-a，4-a）⊆（-4，8），
则$\left\{\begin{array}{l}{4-a≤8}\\{-a≥-4}\end{array}\right.$，解得-4≤a≤4，

点评 本题考查了对数函数的定义域，指数函数的性质，利用集合关系求出参数取值问题，属于中档题．