Question

6．对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知$f（x）=\frac{{{2^x}-t}}{{{2^x}+1}}$是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． （-∞，0]
• C． [-2，-1]
• D． $[-2，-\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 化简f（x），讨论t的取值，判断f（a）、f（b）、f（c）能否构成一个三角形的三边长，从而求出t的取值范围．

解答 解：$f（x）=\frac{{{2^x}-t}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{2}^{x}+1-t-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{t+1}{{2}^{x}+1}$，
①当t+1=0即t=-1时，f（x）=1，
此时f（a），f（b），f（c）都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意；
②当t+1＞0即t＞-1时，f（x）在R上单调递增，
-t＜f（x）＜1，∴-t＜f（a），f（b），f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c）得-2t≥1，
解得-1＜t≤-$\frac{1}{2}$；
③当t+1＜0即t＜-1时，f（x）在R上单调递减，
又1＜f（x）＜-t，由f（a）+f（b）＞f（c）得2≥-t，
即t≥-2，所以-2≤t＜-1；
综上，t的取值范围是$-2≤t≤-\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了三角形三边关系的应用问题，是综合性题目．