Question

已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0)｡

(1)求椭圆C的方程;

(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值｡ 

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ) ；(Ⅱ)直线EF的斜率为定值,其值为｡

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的右焦点，根据以右焦点为圆心，椭圆长半轴为半径的圆与直线x+ y+3=0相切，即可确定椭圆的几何量，从而可求椭圆的方程；

（2）设直线AE方程代入椭圆方程，利用点A(1，)在椭圆上，可求E的坐标，利用直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，可求F的坐标，从而可得直线EF的斜率，问题得解．

解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为｡

因为A在椭圆上,所以,解得=3,=(舍去)｡

所以椭圆方程为   ----------------------5分

(Ⅱ)设直线AE方程:得,代入得

设E(,),F(,).因为点A(1,)在椭圆上,所以

,

｡

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以代,可得

,

｡

所以直线EF的斜率｡

即直线EF的斜率为定值,其值为｡ ---------------------12分

考点：本题主要考查了椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的求解，属于中档题。

点评：解题的关键是直线与椭圆方程联立，确定点的坐标，然后结合已知中斜率的关系史得到结论。