从中这
个数中取
(
,
)个数组成递增等差数列,所有可能的递增等差数列的个数记为
.
(1)当时,写出所有可能的递增等差数列及
的值;
(2)求;
(3)求证:.
(1);(2)
;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)符合要求的递增等差数列全部列出,即可求出的值;(2)求
,即从
到
个数中取
个,组成递增等差数列,由等差数列的性质知
,故分别取
,讨论各种情况下,数列的个数,如
时,
分别取
,共可得
个符合要求的数列,以此类推,即可得到其他情况的符合要求的数列的个数,加起来的和即为符合要求数列的个数,即得
的值;(3)求证:
,由(2)的求解过程可知,首先确定
的范围,即
,由于
只能取正整数,故取
的整数部分是
,即
,
的可能取值为
,计算出
,利用
即可证得结论.
试题解析:(1)符合要求的递增等差数列为1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4个.
所以. 3分
(2)设满足条件的一个等差数列首项为,公差为
,
.
,
,
的可能取值为
.
对于给定的,
, 当
分别取
时,可得递增等差数列
个(如:
时,
,当
分别取
时,可得递增等差数列91个:
;
;
;
,其它同理).
所以当取
时,可得符合要求的等差数列的个数为:
. 8分
(3)设等差数列首项为,公差为
,
,
,
记的整数部分是
,则
,即
.
的可能取值为
,
对于给定的,
,当
分别取
时,可得递增等差数列
个.
所以当取
时,得符合要求的等差数列的个数
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
从数列中抽出一些项,依原来的顺序组成的新数列叫数列
的一个子列.
(1)写出数列的一个是等比数列的子列;
(2)设是无穷等比数列,首项
,公比为
.求证:当
时,数列
不存在
是无穷等差数列的子列.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在数列中,
且对任意的
成等比数列,其公比为
,
(1)若;
(2)若对任意的成等差数列,其公差为
.
①求证:成等差数列,并指出其公差;
②若,试求数列
的前
项和
.
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