Question

已知f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).

(1)若a=b=1,求函数f(x)的单调递增区间;

(2)若函数f(x)的导函数f′(x)满足:当|x|≤1时,有|f′(x)|≤恒成立,求函数f(x)的解析表达式;

(3)若0＜a＜b,函数f(x)在x=s和x=t处取得极值,且a+b＜2,证明与不可能垂直.

Answer 1

解:(1)f(x)=x³-2x²+x,f′(x)=3x²-4x+1,令f′(x)≥0得3x²-4x+1≥0,

解得x≤或x≥1.故f(x)的递增区间为(-∞,］和［1,+∞).

(2)f′(x)=3x²-2(a+b)x+ab.当x∈［-1,1］时,恒有|f′(x)|≤.

故有-≤f′(1)≤,-≤f′(-1)≤,及-≤f′(0)≤,

即6分①+②,得≤ab≤,

又由③,得ab=.将上式代回①和②,得a+b=0,故f(x)=x³x.

(3)证明:假设⊥,即·=(s,f(s))·(t,f(t))=st+f(s)f(t)=0.

故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,［st-(s+t)a+a²］［st-(s+t)b+b²］=-1,

由s,t为f′(x)=0的两根可得,s+t=(a+b),st=ab(0＜a＜b),

从而有ab(a-b)²=9.11分这样(a+b)²=(a-b)²+4ab=+4ab≥2=12,

即a+b≥2,这与a+b＜2矛盾.故与不可能垂直.