Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）当b=

3

时，求

AB

•

CB

的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理代入（2a-c）cosB=bcosC整理可得，2sinAcosB=sin（B+C），利用和角公式展开可求cosB
（II）要求

AB

•

CB

=accosB=

1

2

ac的最大值，需求ac的最大值，由余弦定理得可得a²+c²-ac=3，结合a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，可求得ac的最大值，代入可得答案．

解答：解：（I）由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC?2sinAcosB=sin（B+C）?cosB=

1

2

（4分）
又B∈（0，π），∴B=

π

3

；（6分）
（II）由余弦定理得：a2+c2-2accos

π

3

=3，即a²+c²-ac=3
又a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤3（取=时a=c=

3

）（10分）
∴

AB

•

CB

=accosB=

1

2

ac在a=c=

3

时有最大值为

3

2

．（12分）

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和角公式在解三角形中的应用，还考查了向量的数量积的坐标表示、基本不等式的应用，要解决问题，要求考生熟练掌握基本知识并能灵活运用知识．