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已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )
A.3
B.2
C.2
D.4
【答案】分析:由题设条件可以求出椭圆的方程是+=1.再把椭圆和直线联立方程组,由要根的判别式△=0能够求出a的值,从而能够求出椭圆的长轴长.
解答:解:设椭圆长轴长为2a(且a>2),则椭圆方程为+=1.
由,得(4a2-12)y2+8(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0.
∵直线与椭圆只有一个交点,∴△=0,即192(a2-4)2-16(a2-3)×(16-a2)×(a2-4)=0.
解得a=0(舍去),a=2(舍去),a=.∴长轴长2a=2.故选C.
点评:本题考查椭圆的基本知识及其应用,解题时要注意a>1这个前提条件,不要产生增根.
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