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以下有四个命题:
①一个等差数列{an}中,若存在ak+1>ak>O(k∈N),则对于任意自然数n>k,都有an>0;
②一个等比数列{an}中,若存在ak<0,ak+1<O(k∈N),则对于任意n∈N,都有an<0;
③一个等差数列{an}中,若存在ak<0,ak+1<0(k∈N),则对于任意n∈N,都有an<O;
④一个等比数列{an}中,若存在自然数k,使ak•ak+1<0,则对于任意n∈N,都有an.an+1<0;
其中正确命题的个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【答案】分析:对四个选项逐个加以判别:根据等差数列的通项公式和它的性质,可得①是正确的而③是不正确的;根据等比数列的通项公式及其性质,可得②和④是正确的.由此不难得出正确的答案.
解答:解:对于①,等差数列{an}中,若存在ak+1>>O(k∈N),
说明数列的公差d>0,且第k项为正数,说明从第k项往后各项均大于ak为正数
则对于任意自然数n>k,都有an>0,故①是正确的;
对于②,等比数列{an}中,若存在ak<0,ak+1<O(k∈N),
根据等比数列奇数项符号相同、偶数项符号也相同的规律,
知此等比数列的所有项均为负数,对于任意n∈N,都有an<0,故②是正确的;
对于③,一个等差数列{an}中,若存在ak<0,ak+1<0(k∈N),
有可能它的前面有限项为正,而公差为负,如:5,3,1,-1,-3,-5,…
所以结论:对于任意n∈N,都有an<O不成立,故③是不正确的;
对于④,等比数列{an}中,若存在自然数k,使ak•ak+1<0,
说明这两项一个为正数,另一个为负数,则它公比q<0
由此,对于任意n∈N,都有an.an+1=an2q<0,故④是正确的;
故正确的命题是①②④
故选D
点评:本题以等差数列和等比数列为例,考查了命题真假的判断,属于基础题.熟练掌握等差、等比数列的通项与性质,是解决好本题的关键所在.
练习册系列答案
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7、以下四个命题:
①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直;
②若平面外两点到平面的距离相等,则过这两点的直线必平行于该平面;
③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线;
④两个互相垂直的平面,一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线.
其中正确的命题是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

有以下四个命题:
①4名同学分别报名参加学校组织的数学、物理、化学三个项目的竞赛,每人限报其中的一项,不同报法的种数是43
②4名同学分3张有座足球票,每人至多分l张,而且必须分完,那么不同分法的种数是C43
③从含有98件正品,2件次品的100件产品中任意抽取3件,抽取的这3件产品中至少有l件次品的概率是
C
1
2
C
2
99
C
3
100

④在(1-x)2n+1(n∈N*)的二项展开式中,系数最大的项是第n+1项,系数最小的项是第n+2项.
其中真命题是

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•汕头一模)有以下四个命题:
①△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件;
②若命题p:?x∈R,sinx≤1,则?p:?x∈R,sinx>1;
③不等式10x>x2在(0,+∞)上恒成立;
④设有四个函数y=x-1y=x
1
2
y=x
1
3
,y=x3,其中在(0,+∞)上是增函数的函数有3个.
其中真命题的序号是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出以下四个命题:
①将一枚硬币抛掷两次,设事件A:“两次都出现正面”,事件B:“两次都出现反面”,则事件A与B是对立事件;
②在命题①中,事件A与B是互斥事件;
③在10件产品中有3件是次品,从中任取3件.事件A:“所取3件中最多有2件次品”,事件B:“所取3件中至少有2件次品”,则事件A与B是互斥事件;
④若事件A、B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件;
⑤若A,B是互斥事件,则
A
B
是必然事件;
则以上命题中假命题是
 
(写出所有假命题的序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

以下四个命题中:
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;
②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1;
③某项测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ζ≤5)=0.81,则P(ζ≤-3)=0.19;
④对于两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说,k越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越大. 
以上命题中其中真命题的个数为(  )
A、4B、3C、2D、1

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