Question

将所有平面向量组成的集合记作R²，f是从R²到R²的映射，记作

y

=f(

x

)或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是实数．定义映射f的模为：在|

x

|=1的条件下|

y

|的最大值，记做||f||．若存在非零向量

x

∈R²，及实数λ使得f（

x

）=λ

x

，则称λ为f的一个特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（

1

2

x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），计算f的特征值，并求相应的

x

；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，实数a₁，a₂，b₁，b₂应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并验证f满足这两个条件．

Answer 1

（1）由于此时y12+y22=

1

4

x12+x22，
又因为是在x12+x22=1的条件下，有y12+y22=

1

4

x12+x22=

1

4

+

3

4

x22≤1（x₂=±1时取最大值），
所以此时有||f||=1；…（4分）
（2）由f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂）=λ（x₁，x₂），可得：

x1+x2=λx1 x1-x2=λx2

，
解此方程组可得：（λ-1）（λ+1）=1，从而λ=±

2

．
当λ=

2

时，解方程组

x1+x2= 2 x1 x1-x2= 2 x2

，此时这两个方程是同一个方程，
所以此时方程有无穷多个解，为

x

=m(

2

+1，1)（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．
当λ=-

2

时，同理可得，相应的

x

=m(1-

2

，1)（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．…（9分）
（3）解方程组

a1x1+a2x2=λx1 b1x1+b2x2=λx2

，可得x₁（a₁-λ，b₁）+x₂（a₂，-b₁-λ）=0
从而向量（a₁-λ，b₁）与（a₂，-b₁-λ）平行，
从而有a₁，a₂，b₁，b₂应满足：(a1-b2)2+4a2b1=0．
当f（

λ

）=λ

x

时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．具体证明为：
由f的定义可知：f（x₁，x₂）=λ（x₁，x₂），所以λ为特征值．
此时a₁=λ，a₂=0，b₁=0，b₂=λ满足：(a1-b2)2+4a2b1=0，所以有唯一的特征值．
在x12+x22=1的条件下(λx1)2+(λx2)2=λ²，从而有||f||=|λ|．…（14分）