Question

在等比数列{an}中，an＞0 (n∈N*) ， 公比q∈(0 ， 1) ，且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3与a5的等比中项为2 ， bn=lo

g

an 2

 ，数列{bn}的前n项和为sn ，则当

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

取最大值时n的值等于

，

.

8或9

．

Answer 1

分析：利用等比数列的性质把a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25转化为a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，求出a₃+a₅=5，再利用a₃与a₅的等比中项为2即可首项和公比，求出数列{a_n}的通项公式，进而求出数列{b_n}的通项公式以及前n项和为S_n，得到

sn

n

的通项，即可求出结论．

解答：解：∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25
∵a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
∵a₃与a₅的等比中项为2，∴a₃a₅=4
∵q∈（0，1），∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，
∴q=

1

2

，a₁=16，
∴a_n=16×（

1

2

）^n-1=2^5-n，
又b_n=log₂a_n=5-n，∴b_n+1-b_n=-1，
∴{b_n}是以4为首项，-1为公差的等差数列，
∴s_n=

n(9-n)

2

，∴

sn

n

=

9-n

2

，
∴当n≤8时，

sn

n

＞0；当n=9时，

sn

n

=0；当n＞9时，

sn

n

＜0，
当n=8或9时，

s1

1

+

s2

2

+…+

sn

n

最大．　　
故答案为：8或9

点评：本题考查等比数列、等差数列的通项，在等差数列、等比数列问题中基本量是解题的关键，一般是根据已知条件把基本量求出来，然后再解决问题．