Question

17．在数列{a_n}中，a₁=-2，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，则a₂₀₁₄=（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由已知和数列递推式求出a₂，a₃，a₄，a₅，得到数列的周期，由周期求得a₂₀₁₄的值．

解答 解：∵a₁=-2，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，
∴a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1-2}{1+2}$=$-\frac{1}{3}$，
a₃=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
a₅=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
…
由上可知，数列{a_n}的项以4为周期周期出现．
∴a₂₀₁₄=a_503×4+2=a₂=$-\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于求出数列的周期，是中档题