Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=

2π

w

可求出最小正周期，令2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，求出x的值即可得到对称轴方程．

（2）先根据x的范围求出2x-

π

6

的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，得x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
∴函数图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)

（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
因为f(x)=sin(2x-

π

6

)在区间[-

π

12

，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

π

2

]上单调递减，
所以当x=

π

3

时，f（x）取最大值1，
又∵f(-

π

12

)=-

3

2

＜f(

π

2

)=

1

2

，当x=-

π

12

时，f（x）取最小值-

3

2

，
所以函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域为[-

3

2

，1]．

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质--最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础知识的掌握情况．