Question

设锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知边a=2

3

，△ABC的面积S=

3

4

（b²+c²-a²）．
求：（1）内角A；
（2）周长l的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由S=

3

4

(b2+c2-a2)及余弦定理和三角形的面积公式可得S=

3

2

bccosA=

1

2

bcsinA，结合A的范围可求A
（2）由正弦定理可得b=4sinB，c=4sinC，周长l=a+b+c=2

3

+4sinB+4sinC=2

3

+4sinB+4sin(

2π

3

-B)=4

3

sin(B+

π

6

)+2

3

，结合△ABC为锐角三角形可求B的范围，进而可求sin（B+

π

6

）的范围，从而可求周长的范围．

解答：解：（1）∵S=

3

4

(b2+c2-a2)
又∵b²+c²-a²=2bccosA
∴S=

3

2

bccosA=

1

2

bcsinA．
∴

3

cosA=sinA．
即tanA=

3

∵A∈(0，

π

2

)∴A=

π

3

．
（2）由正弦定理，

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

可得b=4sinB，c=4sinC
周长l=a+b+c=2

3

+4sinB+4sinC=2

3

+4sinB+4sin(

2π

3

-B)
=2

3

+4sinB+4sin

2π

3

cosB-4sinBcos

2π

3

=2

3

+6sinB+2

3

cosB
=4

3

sin(B+

π

6

)+2

3

∵△ABC为锐角三角形
∴0＜B＜

π

2

，0＜C＜

π

2

∵0＜C=

2π

3

-B＜

π

2

∴

π

6

＜B＜

π

2

∴

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

∴sin(B+

π

6

)∈(

3

2

，1]
即l∈(6+2

3

，6

3

]

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，辅助角公式的应用，正弦函数的性质的灵活应用是解决本题的关键之一．