Question

【题目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M={（x，y）|y= }；
②M={（x，y）|y=log2x}；
③M={（x，y）|y=2x﹣2}；
④M={（x，y）|y=sinx+1}．
其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足： 曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．
①M={（x，y）|y= }，其图象向左向右和x轴无限接近，向上和y轴无限接近，
据幂函数的图象和性质可知，
在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y= 的图象相交，
即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y= }是“垂直对点集”．
②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），
取（1，0），则不存在点（x2 ， log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，
因此集合M不是“垂直对点集”；
对于③M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，
据指数函数的图象和性质可知，
在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交，
即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．
对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，在图象上任取一点A，
连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故④符合；
综上可得：只有①③④是“垂直对点集”．
故选：C
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．