Question

已知关于t的方程t²-2t+a=0（a∈R）有两个虚根t₁、t₂，且满足
（1）求方程的两个根以及实数a的值．
（2）若对于任意x∈R，不等式log_a（x²+a）≥-k²+2mk-2k对于任意的k∈[2，3]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：在解答时，对（1）应先将两个虚根设出，然后分别利用韦达定理和满足的条件即可求的实部和虚部的值进而获得方程的两虚根，再由韦达定理即可求的a 的值；对（2）首先利用（1）中的结论对不等式log_a（x²+a）≥-k²+2mk-2k对于任意的k∈[2，3]恒成立，进行化简．从而获得不等式-k²+2mk-2k≤1对任意k∈[2，3]恒成立，然后通过游离参数将问题转化为求y=在k∈[2，3]上的最小值即可获得m的关系式，从而问题即可获得解答．
解答：解：（1）设t₁=x+yi（x，y∈R），则t₂=x-yi；△=4-4a＜0
∴a＞1；t₁+t₂=2x=2∴x=1；，∴或；
所以两根分别为，
∴，
即方程的两个根为：，实数a的值为4．
（2）log₄（x²+4）≥log₄4=1，所以不等式-k²+2mk-2k≤1对任意k∈[2，3]恒成立．
（2m-2）k≤k²+1⇒2m-2≤k+，当且仅当k=1的时候等号成立，
又∵y=在k∈[2，3]上单调递增，
所以
所以，
故实数m的取值范围为：．
点评：本题考查的是函数的最值问题．在解答的过程当中充分体现了方程虚根的求法，恒成立问题的解答规律以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．