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15.若区间[x1,x2]的 长 度 定 义 为|x2-x1|,函数f(x)=$\frac{({m}^{2}+m)x-1}{{m}^{2}x}$(m∈R,m≠0)的定义域和值域都是[a,b],则区间[a,b]的最大长度为(  )
A.$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\sqrt{3}$D.3

分析 化简f(x),首先考虑f(x)的单调性,由题意:$\left\{\begin{array}{l}{f(a)=a}\\{f(b)=b}\end{array}\right.$,故a,b是方程f(x)的同号的相异实数根.利用韦达定理和判别式,求出a,b的关系,再求最大值.

解答 解:函数f(x)=$\frac{({m}^{2}+m)x-1}{{m}^{2}x}$(m∈R,m≠0)的定义域是{x|x≠0},则[m,n]是其定义域的子集,
∴[m,n]⊆(-∞,0)或(0,+∞).
 f(x)=$\frac{({m}^{2}+m)x-1}{{m}^{2}x}$=$\frac{m+1}{m}$-$\frac{1}{{m}^{2}x}$在区间[a,b]上时增函数,
则有:$\left\{\begin{array}{l}{f(a)=a}\\{f(b)=b}\end{array}\right.$,
故a,b是方程f(x)=$\frac{m+1}{m}$-$\frac{1}{{m}^{2}x}$=x的同号相异的实数根,
即a,b是方程(mx)2-(m2+m)x+1=0同号相异的实数根.
那么ab=$\frac{1}{{m}^{2}}$,a+b=$\frac{m+1}{m}$,只需要△>0,
即(m2+m)2-4m2>0,解得:m>1或m<-3.
那么:n-m=$\sqrt{{(a+b)}^{2}-4ab}$=$\sqrt{-{3(\frac{1}{m}-\frac{1}{3})}^{2}+\frac{4}{3}}$,
故b-a的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
故选:A.

点评 本题考查了函数性质的方程的运用,有一点综合性,利用函数关系,构造新的函数解题.属于中档题,分类讨论思想的运用,增加了本题的难度,解题时注意.

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