Question

（1）解不等式|2x-1|＜|x|+1
（2）设x，y，z∈R，x²+y²+z²=4，试求x-2y+2z的最小值及相应x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）对x的范围分x＜0，0≤x＜

1

2

与x≥

1

2

讨论，去掉原不等式中的绝对值符号，从而可求得其解集；
（2）利用柯西不等式（x-2y+2z）²≤（x²+y²+z²）[1²+（-2）²+2²]=4×9=36，即可求得x-2y+2z的最小值及相应x，y，z的值．

解答：解：（1）当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，解得x＞0，
又x＜0，故x不存在；
当0≤x＜

1

2

时，原不等式可化为-2x+1＜x+1，解得x＞0，
∴0＜x＜

1

2

；
当x≥

1

2

时，x＜2，
∴

1

2

≤x＜2；
综上所述，原不等式的解集为：{x|0＜x＜2}；
（2）（x-2y+2z）²≤（x²+y²+z²）[1²+（-2）²+2²]=4×9=36，
∴x-2y+2z的最小值为-6，
此时

x

1

=

y

-2

=

z

2

=

-6

22+(-2)2+22

=-

2

3

，
∴x=-

2

3

，y=

4

3

，z=-

4

3

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查二维形式的柯西不等式，着重考查分类讨论思想与等价转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．