Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ax2﹣ax，其中a∈R．
（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0，f（x）=lnx则f（1）=0

又 ，则切线的斜率k=1，

所以函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x﹣1

（2）解：f（x）=lnx+ax2﹣ax，x＞0，则 ，

令t（x）=2ax2﹣ax+1，

①若a=0，则t（x）=2ax2﹣ax+1=1＞0，

故f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）在（0，+∞）上无极值点，

故a=0不符题意，舍去；

②若a＜0， ，

该二次函数开口向下，对称轴 ， ，

所以t（x）=0在（0，+∞）上有且仅有一根 ，故f'（x0）=0，

且当0＜x＜x0时，t（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，x0）上单调递增；

当x＞x0时，t（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）在（x0，+∞）上单调递减；

所以a＜0时，函数f（x）在定义域上有且仅有一个极值点 ，符合题意；

③若a＞0， ，该二次函数开口向上，对称轴 ．

（ⅰ）若 ，即0＜a≤8， ，

故f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）在（0，+∞）上无极值点，

故0＜a≤8不符题意，舍去；

（ⅱ）若 ，即a＞8，又t（0）=1＞0，

所以方程t（x）=0在（0，+∞）上有两根 ， ，

故f'（x1）=f'（x2）=0，

且当0＜x＜x1时，t（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，x1）上单调递增；

当x1＜x＜x2时，t（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）在（x1，x2）上单调递减；

当x＞x2时，t（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）在（x2，+∞）上单调递增；

所以函数f（x）在（0，+∞）上有两个不同的极值点，故a＞8不符题意，舍去，

综上所述，实数a的取值范围是a＜0

（3）解：由（2）可知，

①当0≤a≤8时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0，符合题意，

②当a＜0时，t（1）=a+1，

（ⅰ）若t（1）=a+1≤0，即a≤﹣1，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，

故f（x）≤f（1）=0，不符题意，舍去，

（ⅱ）若t（1）=a+1＞0，即﹣1＜a＜0，

故函数f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，

当 时，

（事实上，令φ（x）=lnx﹣x+1，x≥1，则 ，

函数φ（x）在[1，+∞）上单调递减，

所以φ（x）≤φ（1）=0，即lnx≤x﹣1对任意x∈[1，+∞）恒成立．）

所以存在 ，使得f（x）＜0，故﹣1＜a＜0不符题意，舍去；

③当a＞8时，t（1）=a+1＞0，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，

所以当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0，符合题意，

综上所述，实数a的取值范围是a≥0

【解析】（1）求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，从而求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性结合函数的极值点的个数，求出a的范围即可；（3）通过讨论a的范围，得到函数的单调性，求出函数的最值，从而判断a的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．