Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）． （Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C的方程为y2=ax（a≠0）．

由抛物线C经过点P（1，2），

得a=4，

所以抛物线C的方程为y2=4x．

（Ⅱ）因为|PM|=|PN|，

所以∠PMN=∠PNM，

所以∠1=∠2，

所以直线PA与PB的倾斜角互补，

所以kPA+kPB=0．

依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k≠0），

将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4=0．

设A（x1，y1），则x1= ，y1= ﹣2，

所以A（ ， ﹣2）．

以﹣k替换点A坐标中的k，得B（ ，﹣ ﹣2．

所以 kAB= =﹣1，

所以直线AB的斜率为﹣1．

【解析】（Ⅰ）根据抛物线C经过点P（1，2），求抛物线C的方程；（Ⅱ）由题意，直线PA与PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0，求出A，B的坐标，即可得出结论．