Question

【题目】已知,函数.

(Ⅰ)若有极小值且极小值为0 ,求的值；

(Ⅱ)当时，, 求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据a的正负讨论导函数零点情况，当时只有一个零点，且为极小值，再根据极小值为0 ,求的值；当时讨论两个零点大小，先确定极小值取法，再根据极小值为0 ,求的值；（2）先化简不等式为，再对时，变量分离，转化为讨论对应函数最值问题最小值，先根据与同号得>0，再根据放缩证明最小值恒大于零且趋于零，综合可得的取值范围.

试题解析：(Ⅰ).

①若，则由解得,

当时，递减；当上，递增；

故当时，取极小值，令,得（舍去）.

②若，则由，解得.

(i)若，即时，当，.递增；当上，递减；当上，递增.

故当时，取极小值，令，得（舍去）

（ii）若，即时，递增不存在极值；

(iii)若，即时，当上，递增；，上，递减；当上，递增.

故当时，取极小值,得满足条件.

故当 有极小值且极小值为0时,

(Ⅱ)方法一：等价于,

即，即 ①

当时，①式恒成立；以下求当时不等式恒成立,且当时不等式恒成立时的取值范围．

令,即，记.

(i)当即时，是上的增函数，

所以,故当时，①式恒成立；

(ii)当即时，令,

若，即时，则在区间上有两个零点,

其中,故在上有两个零点:

,

在区间和上， 递增；在区间上，递减；

故在区间上， 取极大值, ②

注意到，所以，所以,

注意到,在区间上， 递增，所以,当时，.

故当时，在区间上，，而在区间上.

当时，，也满足当时，；当时，.

故当时，①式恒成立；

(iii)若，则当时，，即，即当时，①式不可能恒成立.

综上所述, 所求的取值范围是.

方法二：等价于， ③

当时，③式恒成立；

当时，③式等价于：，令，则,

当时，；当时，，故当时，③式恒成立；

以下证明:对任意的正数,存在，使，取，则

，令，解得，即时，,

综上所述, 所求的取值范围是.