Question

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）已知f（x）是R上的增函数，若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

解：（1）令a=b=0，则f（0）=[f（0）]²
∵f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）令a=x，b=-x，则 f（0）=f（x）f（-x）
∴f（-x）=
由已知x＞0时，f（x）＞1＞0，
当x＜0时，-x＞0，f（-x）＞0
∴f（x）=＞0
又x=0时，f（0）=1＞0
∴对任意x∈R，f（x）＞0
（3）f（x）•f（2x-x²）=f[x+（2x-x²）]=f（-x²+3x）
又1=f（0），f（x）在R上递增
∴由f（3x-x²）＞f（0）
得：3x-x²＞0
∴0＜x＜3
分析：（1）令a=b=0，可由f（a+b）=f（a）f（b），求出f（0）=1；
（2）令a=x，b=-x，结合（1）中结论可得f（x）与f（-x）互为倒数，进而由已知可证得对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）根据（1）中结论，由已知将不等式f（x）•f（2x-x²）＞1，化为3x-x²＞0，易解得答案．
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，函数恒成立问题，熟练掌握抽象函数“凑已知，凑未知”的解答技巧是关键．