Question

【题目】已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点．点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线的方程；

(2)求证：；

(3)求△F1MF2的面积．

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)6

【解析】

(1)根据设双曲线的方程为，由点在双曲线上，代入，即可得到双曲线的方程；

(2)根据题意求出，，根据向量数量积的坐标运算得到以及由点M在双曲线上得到，即可证明；

(3)以为底，以点M的纵坐标为高，即可得到△F1MF2的面积.

(1)因为，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为.因为双曲线过点，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为.

(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则， 所以，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以.

(3)的底.由(2)知.所以的高，所以