Question

在数列{a_n}中，a_n=2ⁿ-1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素a_ij=a_i•a_j+a_i+a_j，（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为

 

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Answer 1

分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．
则满足2^i+j-1=2^m+n-1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a_ij≠a_mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．

解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
当且仅当i+j=m+n时，a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．
故答案为：18．

点评：本题考查了简单的合情推理，训练了指数函数的单调性，解答的关键是对题意的理解，是中档题．